Worum es geht

Zugegeben, der Titel dieses Blogs ist nicht seriös. Wenn der Eindruck erweckt wird, der große Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777-1855) habe die Tropen bereist, so ist das ein Missverständnis, wenn auch ein beabsichtigtes. Die einzige Insel, auf die Gauß während seines 78-jährigen Lebens den Fuß setzte, war das ostfriesische Wangerooge. Vom Westturm aus nahm er dort 1825 im Rahmen der Vermessung des Königreichs Hannover mehrere Punkte auf dem Festland ins Visier.

Das Wort auf ist nämlich nicht geografisch aufzufassen, sondern im Sinne von in einer bestimmten Sprache, etwa wie in Gauß auf Japanisch. Es ist demnach nicht die Insel Java gemeint sondern die Programmiersprache. Der Titel soll andeuten, dass ein wesentlicher Teil der folgenden Ausführungen sich damit beschäftigen wird, ein Java-Programm zu entwickeln, mit dem sich das von Gauß im Jahre 1796 entwickelte Verfahren zur Konstruktion regelmäßiger Vielecke, insbesondere des 17-Ecks, des 257-Ecks und des 65537-Ecks, wirklich ausführen lässt.

Gauß' Kreisteilung

Die Geschichte vom neunzehnjährigen Gauß, dem am frühen Morgen des 29. März 1796 (einem Dienstag) plötzlich klar geworden war, dass neben den schon seit der Antike bekannten Konstruktionen des Dreiecks und des Fünfecks auch die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks mit Zirkel und Lineal möglich sein müsse, gehört zur mathematischen Folklore. Gauß berichtet darüber in einem Brief an Gerling (zitiert nach [Biermann 1990]):

Der Tag war der 29. März 1796, und der Zufall hatte gar keinen Anteil daran. […] Durch angestrengtes Nachdenken über den Zusammenhang der Wurzeln untereinander nach arithmetischen Gründen glückte es mir, bei einem Ferienaufenthalt in Braunschweig am Morgen (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war), diesen Zusammenhang auf das klarste anzuschauen, so dass ich die spezielle Anwendung auf das 17-Eck und die numerische Bestätigung auf der Stelle machen konnte.

Angeblich gab diese Entdeckung Gauß den entscheidenden Impuls, sich bei seinen Studien fortan völlig auf die Mathematik zu konzentrieren, während er bis dahin noch unschlüssig war, und auch ein Studium der klassischer Philologie in Erwägung gezogen hatte.

Abb.1: Gauß nach einer Lithografie von Bendixen (um 1828)
[Quelle: Wikimedia]

Gauß' Verfahren, das unter dem Stichwort Kreisteilung bekannt ist, lässt sich sofort auf alle regelmäßigen Vielecke mit primer Eckenzahl anwenden, sofern die Primzahl von der Form $p = 2^k + 1$ ist. Primzahlen dieser Form heißen Fermatsche Primzahlen und man kann zeigen, dass diese nur prim sein können, wenn der Exponent $k$ selbst eine Zweierpotenz ist (dazu später mehr), die Zahl $p$ also von der Form $2^{2^n}+1$ ist. Bis heute sind die Fermatschen Primzahlen für $n=0,1,2,3,4$ bekannt, sie lauten $3,5,17,257$ und $65537.$ Für $n=5$ und alle Werte bis $n=32$ weiß man, dass die Zahlen $2^{2^n}+1$ zusammengesetzt, also keine Primzahlen sind. Ob es nur endlich viele Fermatsche Primzahlen gibt, ist ein bis heute ungelöstes Problem.

Nach Gauß ist ein regelmäßiges Vieleck mit primer Eckenzahl dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn es $3, 5, 17, 257$ oder $65537$ Ecken hat. Die Vielecke, die möglicherweise für noch zu entdeckende Fermat-Primzahlen jenseits von $2^{2^{32}}+1$ existieren, sollen uns hier nicht weiter beschäftigen. Dass wirklich nur diese primzahligen Vielecke konstruierbar sind und keine weiteren, hat Gauß übrigens nicht selbst bewiesen^[1], sondern erst im Jahre 1837 der französische Mathematiker Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) [Wantzel 1837].

Ausgehend von diesen Polygonen mit primer Eckenzahl kann man natürlich viele weitere regelmäßige Vielecke konstruieren, etwa indem man alle Zentriwinkel halbiert und damit die Eckenzahl verdoppelt. Das ist aber mathematisch nicht sonderlich interessant, deshalb werden wir meist nur Vielecke mit primer Eckenzahl betrachten.

Wen interessieren schon Vielecke?

Nun mag man sich fragen, was an der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken so interessant sein soll, dass darüber Blogs oder sogar ganze Bücher geschrieben werden. In der Tat hat Gauß' Entdeckung ziemlich bald nach ihrer Publikation unter Mathematikern großes Aufsehen erregt. Gewiss hat dabei der Überraschungseffekt eine Rolle gespielt. Normalerweise liegt die Lösung eines mathematischen Problems sozusagen in der Luft, viele Mathematiker arbeiten sich über Jahre hinweg daran ab und erzielen manche Teilerfolge. Wenn jemand endlich die vollständige Lösung liefert, mag es sein, dass die Mathematikergemeinde erleichtert aufatmet, aber weitere Beachtung findet eine solche Leistung nur, wenn der mathematische Mainstream das Problem schon fast aufgegeben hatte, wie es etwa beim Beweis der Fermatschen Vermutung 1993/95 der Fall war.

Gauß' Kreisteilung kam hingegen wie der Blitz aus heiterem Himmel. Seit Euklid (um 325 v.u.Z.) wusste man, dass regelmäßige Dreiecke, Vierecke und Fünfecke mit Zirkel und Lineal zu konstruieren sind, sowie alle Vielecke, die daraus durch fortgesetztes Halbieren der Zentriwinkel entstehen. Dass man auch das Fünfzehneck durch geschicktes Kombinieren aus dem Dreieck und dem Fünfeck konstruieren kann, war ebenfalls bekannt – wir werden das später noch genauer betrachten. Seit mehr als 2000 Jahren hatte es auf diesem Gebiet keine Fortschritte mehr gegeben und die Mathematiker fühlten sich in gewisser Weise bei einem Versäumnis ertappt, als der junge Gauß seine Erkenntnis über das Siebzehneck veröffentlichte.

Das ist aber nur ein Grund dafür, dass Gauß mit seiner Arbeit geradezu schlagartig berühmt wurde. Viel entscheidender war die Art und Weise, wie er die Fragestellung angepackt hatte. Er benutzte nämlich für das anscheinend rein geometrische Problem ausschließlich algebraische Methoden, Gauß selbst sprach sogar von Arithmetik, d.h. er konnte Aussagen über die Konstruierbarkeit von Vielecken auf die Betrachtung von Beziehungen unter ganzen Zahlen^[2] zurückführen. Dabei durchschaute er dieses Beziehungsgeflecht, das wir später zumindest andeutungsweise aufdecken wollen, so vollkommen, dass er nicht nur quasi nebenbei die Frage nach der Konstruierbarkeit von Vielecken zu einem endgültigen Abschluss bringen konnte, sondern die Grundlagen für umfangreiche Theorien in vielen Zweigen der Mathematik schuf, von denen die Forscher heute noch zehren.

Gauß Entdeckung ist damit ein eindrucksvolles Beispiel für das, was von den Mathematikern als die Schönheit ihrer Wissenschaft empfunden wird, nämlich das plötzliche, unerwartete Auftauchen von Beziehungen zwischen Gebieten, die bei oberflächlicher Betrachtung kaum etwas miteinander zu tun haben, wie etwa Geometrie und Algebra. Das Aufspüren solcher Zusammenhänge ist es, was die Mathematik für alle, die ihr verfallen sind, zu einer spannenden Reise in unbekannte Gebiete macht.

Leider sind sehr viele dieser mathematischen Reisen, etwa der oben erwähnte Beweis der Fermatschen Vermutung, nur im Rahmen einer professionell ausgestatteten Expedition mit trainierten Teilnehmern zu bestehen. Dies trifft jedoch auf die Gaußschen Erkenntnisse zur Konstruktion regelmäßiger Vielecke nicht zu. Wie der Untertitel andeutet, glaube ich, dass die Tour, von der dieser mathematische Reisebericht erzählt, ohne jahrelange Vorbereitung zu bewältigen sein sollte – einen gewissen Durchhaltewillen vorausgesetzt.

Richelot und Hermes

Ohne jetzt schon darauf einzugehen, was es genau bedeutet, eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal auszuführen, sei erwähnt, dass Gauß selbst nur die Konstruktion des 17-Ecks angegeben hat, und zwar nicht in Form einer Reihe von Anweisungen für die Handhabung der Zeicheninstrumente sondern indem er die Koordinaten eines Eckpunkts des 17-Ecks in Form eines speziellen arithmetischen Ausdrucks angegeben hat. Es ist leicht einzusehen, dass bei der Konstruktion des 257-Ecks oder gar des 65537-Ecks niemand wirklich mit Zirkel und Lineal hantieren kann^[3]. Eine kleine Überschlagsrechnung zeigt, dass selbst bei einem Umkreisradius von 5 Metern die Seitenlänge des 65537-Ecks nicht einmal einen Millimeter erreicht. Man begnügt sich bei diesen Konstruktionen mit einer speziellen Art von Konstruktionsbeschreibung – und genau dies soll das hier vorgestellte Java-Programm leisten, nämlich diese Konstruktionsbeschreibung mechanisch erstellen. Da diese Konstruktionsbeschreibung im wesentlichen aus einer (manchmal riesigen) Anzahl von Quadratwurzeln besteht, sprechen wir im folgenden auch manchmal von den Wurzelausdrücken oder kurz Wurzeln, wenn wir uns auf diese Konstruktionsbeschreibung beziehen.

Die Konstruktion des 257-Ecks im obigen Sinne wurde im Jahre 1832 von Friedrich Julius Richelot (1808-1875) [Richelot 1832] durchgeführt und die Konstruktion des 65537-Ecks beschäftigte den Königsberger Gymnasialprofessor Johann Gustav Hermes (1846-1912) [Hermes 1894], der später in Lingen an der Ems und in Osnabrück wirkte, geschlagene zehn Jahre von 1879 bis 1889. Die dabei angefallenen Unterlagen in Form von Tabellen, Strichlisten etc. füllen einen ganzen Koffer, den berühmten Hermeskoffer, der bis zum heutigen Tag in der Bibliothek des Mathematischen Instituts in Göttingen aufbewahrt wird (siehe Kap.10 Über J.G.Hermes).

Während meines Studiums konnte ich mich mit eigenen Augen davon überzeugen, dass es zumindest sehr schwierig, um nicht zu sagen völlig aussichtslos ist, mit Hilfe der Unterlagen aus dem Koffer die Konstruktion des 65537-Ecks nachzuvollziehen. Auch diesem Manko soll mit Hilfe des vorgestellten Programms abgeholfen werden. Wenn jemand ungeduldig geworden ist und gleich die ominöse Konstruktionsbeschreibung für das 65537-Eck ansehen möchte, hier ist der Link zum PDF, das sie enthält. Wer allerdings wissen möchte, was es mit diesen vielen Wurzeln auf sich hat, kommt um eine Lektüre der folgenden Kapitel nicht herum.

Was man erwarten darf und was nicht

Zum Verständnis des Gaußschen Verfahrens und damit zum Verständnis des Java-Code muss etwas weiter ausgeholt werden, insbesondere, weil sich diese Ausarbeitung nicht an professionelle Mathematiker richtet. Ziel ist vielmehr, dass die Darstellung für Lehrer, ältere Schüler und jüngere Studenten verständlich ist. Letzteren wird der Satz über die Konstruierbarkeit von Vielecken in der Regel nur en passant im Rahmen des Kapitels über Galoistheorie einer Algebra-Vorlesung präsentiert. Der Exkurs über Galoistheorie in Kap.9 mag für sie die Verbindung zwischen der abstrakten Theorie und dem konkreten Job des Java-Programms herstellen.

Selbstverständlich sind darüber hinaus alle an der Mathematik Interessierten eingeladen, die folgenden Kapitel zu lesen. Einige Vorkenntnisse verringern die Gefahr, dass man die Reise vorzeitig abbricht. So sollte man in die Zahlbereiche $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ und eventuell $\mathbb{C},$ der natürlichen, ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen zumindest einmal kurze Ausflüge unternommen haben. Das Auflösen von Gleichungen, insbesondere von quadratischen Gleichungen sollte nicht völlig fremd sein, auch die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus sollte man nicht zu den Böhmischen Dörfern zählen. Wenn man weiß, was Polynome sind und schon einmal etwas von Restklassen, Gruppen und Körpern^[4] gehört hat, kann eigentlich nichts mehr schief gehen. Um das Java-Programm bis ins Detail zu verstehen, wäre es nicht schlecht, wenn man selbst etwas in Java programmiert hätte, allgemeine Kenntnisse in verwandten Programmiersprachen wie C#, C++, C oder JavaScript reichen aber völlig aus, wenn man nur die Algorithmen nachvollziehen will.

Wir beginnen im ersten Kapitel mit der Erörterung, was Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal überhaupt bedeutet, gefolgt von einem kurzen Abriss über die komplexe Zahlenebene im Allgemeinen und die Einheitswurzeln im Besonderen. Das führt unmittelbar zu den speziellen Eigenschaften der $p$-ten Einheitswurzeln, wenn $p$ eine Fermatsche Primzahl ist, jene Eigenschaften, die der 19-jährige Gauß erstmals erkannt hat, und die schließlich zum Konstruktionsverfahren für das 17-Eck führten. Daraus leitet sich der Algorithmus ab, der anschließend in Java implementiert und in Kap.6 beschrieben wird. Im Kap.7 finden sich die vom Programm erzeugten Konstruktionsbeschreibungen für das Fünfeck, das Siebzehneck und das Zweihundertsiebenundfünfzigeck. Für das 65537-Eck ist im Kap.8 nur ein kleiner Ausschnitt aus dem oben erwähnten PDF abgedruckt, das ebenso wie Source und jar-File des Programms dort verlinkt ist. Es folgen der erwähnte kurze Abschnitt über Galoistheorie sowie einige Randbemerkungen zu J.G. Hermes und seinem Hermeskoffer.

Schlussbemerkungen

Die hier behandelten mathematischen Themen sind Klassiker. Es gibt daher viele Bücher oder Internetseiten dazu, die an die mathematische Vorbildung des Lesers unterschiedlichste Ansprüche stellen. Einige dieser Veröffentlichungen sind in dem kommentierten Literaturverzeichnis am Ende des Blogs aufgeführt. Die Frage, warum hier noch eine weitere Abhandlung den existierenden hinzugefügt wird, ist daher berechtigt und soll beantwortet werden:

Neu ist in erster Linie die Realisierung des Gaußschen Kreisteilungsverfahrens durch ein Java-Programm sowie die dadurch erzeugte vollständige Auflistung der Wurzeln für das 65537-Eck im Supplement. Ich habe nur eine weitere Darstellung im Web gefunden [Brakke 2011], in der die Wurzeln des 65537-Ecks ebenfalls angegeben werden. Leider erlaubt Brakke keinen Einblick in sein C-Programm. Ferner kann wohl der Anspruch einer für Oberstufenschüler lesbaren Darstellung und in diesem Zusammenhang die ausführliche Behandlung der Grundlagen eine gewisse Originalität beanspruchen.

Die wesentliche Anregung zur Zusammenstellung dieser Seiten habe ich durch einen Artikel bekommen, den Michael Trott in der leider inzwischen eingestellten Zeitschrift Mathematica in education and research [Trott 2000] veröffentlicht hat. Dort implementiert Trott einen ähnlichen Algorithmus, wie er hier vorgestellt wird, allerdings in Mathematica ^® statt in Java. Abgesehen davon, dass die mathematischen Grundlagen in Trotts Artikel nur äußerst knapp abgehandelt werden und Java-Code vermutlich von weitaus mehr Personen nachvollzogen werden kann als Mathematica-Programme, ist dort nur für das 17-Eck eine explizite Darstellung angegeben, weil schon die Ausgabe für das 257-Eck einen Zeitschriftenartikel sprengt. Zudem wird in [Nahin 2006], der Quelle, die mich auf Trotts Veröffentlichung aufmerksam gemacht hat, dazu bemerkt:

The corresponding numbers for $\cos(2\pi/65537)$ would be simply astronomical.

was wohl ein wenig übertrieben ist, wie das vorliegende Programm und der Umfang des PDF beweisen.

Abb.2: Wörle, Kratz Geometrie II (um 1968)

Noch ein Wort zum Stil. Wenn im Folgenden öfter Sätze der Form Nun betrachten wir… oder Wir gehen davon aus, dass… fallen, mag mancher Leser das für den pluralis majestatis und mithin für eine typisch arrogante Mathematiker-Attitüde halten. Nichts liegt dem Autor ferner! Mathematik erfordert aber nun einmal intensives Mitdenken des Lesers und durch die Verwendung des Wir soll dieser in den Gedankengang mit einbezogen werden. Letzteres ist ein Grund dafür, warum die Texte manchmal etwas sehr ausführlich, um nicht zu sagen geschwätzig daher kommen. Ein anderer Grund ist natürlich, dass alte Knaben wie ich, generell zur Geschwätzigkeit neigen.

Deshalb möge man mir folgende Anekdote nachsehen: In den 60er Jahren des vergangenen Jahrhunderts wurde uns in der Mittelstufe des Gymnasiums die Mathematik mit Hilfe von Lehrbüchern aus dem Bayerischen Schulbuchverlag (und das in NRW!) nahe gebracht. In dem Buch zur Geometrie von Kratz und Wörle ^[5] [Kratz, Wörle 1968] gab es zu manchen Themenkomplexen eine eher unterhaltsame Rubrik Sonderbare Geometrie. Im Abschnitt über die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks wurden unter diesem Motto die Großleistung des jungen Gauß und die Anstrengungen von Richelot und Hermes vorgestellt. Ein Satz aus dieser Marginalie sei hier sinngemäß zitiert, denn er sollte meinen weiteren Lebensweg entscheidend beeinflussen:

Zum Verständnis der Gaußschen Untersuchungen zur Kreisteilung ist ein mehrjähriges gründliches Mathematikstudium erforderlich.

Damit stand für mich der Entschluss fest, Mathematik zu studieren, und sei es nur, um die Gaußschen Gedankengänge nachvollziehen zu können. Dass Göttingen, die Wirkungsstätte des großen Gauß, als Studienort gewählt wurde, war nur konsequent, und dass der mysteriöse Hermeskoffer dort deponiert war, eine kuriose Dreingabe. Das Gerücht, es erfordere ein Studium, um Gauß' Konstruktion zu verstehen, wird in den folgenden Kapiteln aber hoffentlich widerlegt.